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論文集錦

摭談對教材例、習題功能的深層挖掘

來源: 發布時間:2015-11-30 09:41:10 瀏覽次數: 【字體:

著名數學家G·波利亞說:“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目,去幫助學生發掘問題的各方面,使得通過這道題,就好象通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域.”高中數學教材中的例、習題凝聚了許多專家、學者的心血和經驗,教材上的例、習題是教師開展教學的依據,也是學生學習探究的范本.在數學教學中,我們不能就題論題,而應重視對例、習題的教育潛能作進一步的探究,以充分挖掘其深層功能,從而給學生一片廣闊的數學天空,讓學生充分領略數學習題中蘊含的數學美,從而激發學生的學習的興趣,使學生的數學學習能力、數學思維品質和數學素養得到有效的提高.本文就對教材例、習題功能的深層挖掘作一些探討,以供參考.

1 挖掘教材例、習題的數學背景,激發學生的數學學習興趣

前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基認為:實踐證明,當課堂上所講的教材里既包含一定“份額”的已有的東西又包含一定“份額”的新東西才能喚起建立在思維本質上面的穩定的興趣.“興趣是最好的老師”,若能在課堂教學中有效地激發學生學習數學的興趣,對于提高學生的數學能力必然產生積極地影響.教材中有許多例、習題具有深厚的數學背景,在教學過程中如果能夠注意到相關問題的數學背景,揭示出已知的東西跟新的東西的內部的深刻聯系,可以有效地激發學生的學習興趣和學習熱情,達到良好的教學效果.

1 (蘇教版《數學·必修5》第54頁習題2.31)第17題)如圖,將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分,以中間一段為邊向形外作正三角形,并擦去中間一段,得圖(2).如此繼續下去,得圖(3)……試探求第 個圖形的邊長和周長.

1

2

3

解答本題之前,可先向學生揭示其背景:這樣形成的圖形稱為分形(fractal).什么是分形?美籍數學家曼德勃羅特(Mandelbrot)首次提出了分形這個詞匯來描述,據曼德勃羅特教授自己說,fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚,他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時,突然想到的.此詞源于拉丁文形容詞fractus,對應的拉丁文動詞是frangere(“破碎”、“產生無規碎片”).此外與英文的fraction(“碎片”、“分數”)及fragment(“碎片”)具有相同的詞根.在70年代中期以前,曼德勃羅特一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想.因此,取拉丁詞之頭,擷英文之尾的fractal,本意是不規則的、破碎的、分數的.曼德勃羅特是想用此詞來描述自然界中傳統歐幾里德幾何學所不能描述的一大類復雜無規的幾何對象.例如,彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈,粗糙不堪的斷面,變幻無常的浮云,九曲回腸的河流,縱橫交錯的血管,令人眼花繚亂的滿天繁星等.它們的特點都是,極不規則或極不光滑.直觀而粗略地說,這些對象都是分形.

學生了解這一背景后,原本枯燥的習題在腦海中一下子鮮活起來,學習的興趣就會大大增強.在完成此題后,我們可以再給出以下問題讓學生思考.

1

2

3

問題 將正 分割成 個全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了 的情形),在每個三角形的頂點各放置一個數,使位于 的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(當數的個數不少于3時)都分別依次成等差數列,若頂點 處的三個數互不相同且和為1,記所有頂點上的數之和為 ,則有 ,……,

本題實際上是分形思想在數列中的應用.

2 挖掘教材例、習題的變式功能,促進學生思維能力的提高

2.1 通過一題多解和一題多變,培養學生思維的廣闊性

思維的廣闊性,是指思路寬廣,善于多角度、多層次的進行探求.在數學學習的過程中,思維的廣闊性又表現為,既能把握數學問題的整體,抓住它的基本特征,又能抓住重要的細節和特殊因素.在解決問題時能多方位觀察、多角度地思考問題;能點面結合、全面地分析問題;善于通過廣泛的聯想,找出隱含關系,能用不同的方法處理和解決問題.在例、習題的教學中,通過對例題的條件或結論進行改變,有助于培養學生的探究能力與創新意識,有利于學生發散性思維和開放性思維的培養.

2 (蘇教版《數學·必修5》第100頁例3)過點的直線軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點,當的面積最小時,求直線的方程.

解法1 由題意知,直線 的斜率存在.設直線 的方程為 ,則

,當且僅當 ,即 時取等號.

的面積最小值為4,此時直線 的方程為 ,即

解法2 由題意,設直線 的方程為

∵點 在直線 上,∴

由基本不等式,得 ,即 .于是 ,當且僅當 ,即 時取等號.

的面積最小值為4,此時直線 的方程為 ,即

解法3 同解法2,得 ,從而

,∴ ,故 ,∴ ,當且僅當 ,即 時取等號,此時

的面積最小值為4,此時直線 的方程為 ,即

解法4 同解法2,得 .令 ,則 .于是

,∴ ,即 ,當且僅當 ,即 時取等號.此時

x

y

A

B

O

M

N

的面積最小值為4,此時直線 的方程為 ,即

解法5 如圖,過點 分別作軸、軸的垂線 ,垂足分別為 .設

于是

,當且僅當 ,即 時取等號.此時直線 的斜率為

的面積最小值為4,此時直線 的方程為 ,即

解題后,師生共同對問題展開廣泛的思考與討論,從條件的變換中得出如下的相關問題.

問題1 過點的直線 軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點,當直線在兩坐標軸上的截距之和最小時,求直線 的方程.

問題2 過點的直線 軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點,當 之積最小時,求直線 的方程.

問題3 過點的直線 軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點,當 之和最小時,求直線 的方程.

問題4 若將例題條件“ 軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點”改為“ 軸分別交于兩點”,則例題又該如何解決?

問題5 過點的直線 軸分別交于兩點, 的面積為4,則這樣的直線有多少條?若面積為3,面積為5呢?

問題6 過點的直線 軸分別交于兩點, 的面積為 ,則這樣的直線有多少條?

2.2 通過反思教學,培養學生思維的深刻性和創新性

反思是指自覺地對數學認知活動進行考查、分析、總結、評價、調節的過程,是學生調控學習的基礎,是認知過程中強化自我意識、進行自我監控、自我調節的主要形式.荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出:反思是數學思維活動的核心和動力.反思教學是數學教學活動中最重要的一環,在例、習題的教學中加強反思教學對于學生思維品質的提高有著重要意義,通過反思教學可以有效的培養學生思維的深刻性和創新性.

3 (蘇教版《數學·選修2-1》第42頁習題231)第5題)在 中, ,直線 的斜率乘積為 ,求頂點 的軌跡.

課堂上,學生自主完成這道題目,得出答案: 點的軌跡方程為 ,其軌跡為雙曲線 剔除 軸上的點.

在完成后,可以引導學生進行反思和聯想:所求的雙曲線中 恰好等于 ,這是巧合嗎?

問題1 中, ,直線 的斜率乘積為 ,則頂點 的軌跡為什么?你能得出一個一般性的結論嗎?

同學在討論后,得出如下結論:

結論1 與兩個定點 , 連線的斜率乘積等于定值 的動點 的軌跡方程是 其軌跡為雙曲線 剔除 軸上的點.

問題2 結論1的逆命題是什么?是否成立?

結論2 雙曲線 長軸的兩個頂點與雙曲線上除這兩個頂點外的任一點連線斜率之積為

問題3 能否對結論2作一般性推廣?結論如何?

結論3 已知AB是過雙曲線 的中心的一條弦, 是雙曲線上異于頂點的一點,設直線 的斜率分別為 ,則

問題4 在橢圓中能否給出類似的結論?

結論4 橢圓 上任意經過原點的弦的兩個端點與橢圓上的任一點(除這兩點外)連線斜率之積為

乘熱打鐵,我們可以再給出以下問題讓學生進行練習,并對自己的發現加以體會.

y

問題1 如圖,若為橢圓 的右頂點,直線ADPD交直線 兩點,則 的最小值為

問題22011年江蘇高考第18題)如圖,在平面直角坐標系 中, 分別是橢圓 的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于PA兩點,其中點P在第一象限,過P軸的垂線,垂足為C,連接AC并延長交橢圓于點B設直線PA的斜率為k

1)若直線PA平分線段NM時,求k的值;

y

2)當k=2時,求點P到直線AB的距離

3)對任意的k0,求證:PAPB

最后,給同學留下一道思考題:

坐標平面上有兩個定點 和動點 ,如果直線 的斜率之積為定值 ,試討論點 的軌跡.

3 挖掘教材例、習題的應用功能,培養學生的應用意識和建模能力

數學應用意識是學生主動嘗試從數學角度運用數學思想、方法,尋求問題解決策略,探索數學知識的應用價值的意識.培養學生數學應用的意識和能力,不僅是數學科學發展的需要,也是當前數學教育改革發展的必然趨勢.教材中很多數學問題屬于純數學模型,但很多純數學模型都有一定的應用背景,所以在數學教學中我們可以尋找一些有應用背景的問題來引導學生用數學的眼光,分析學生學習、生活以及其它領域的具體問題,讓學生真正體會到數學源于現實、寓于現實、用于現實,從而培養學生應用數學工具分析和解決實際問題的能力,提高學生的數學應用意識.

4 蘇教版《數學·選修2-2》第71頁例2)已知 均為正實數, ,求證:

在講完這個不等式的證法之后,我投影了下面的問題,讓學生思考.

建筑學規定,民用住宅是窗戶面積必須小于地板面積,但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比應不小于10%,并且這個比越大,住宅的采光條件越好.問同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.

分析 設原窗戶面積為 ,地板面積為 ,則窗戶面積和地板面積的比為 .同時增加的窗戶和地板面積為 ,則增加后的窗戶面積和地板面積的比為 .于是問題就是判斷 的大小關系.很明顯,由上述例題即得.

緊接著,我又給出如下課后練習.

我們每個人都有這樣的生活體驗:在一杯不飽和的糖水中加入一勺糖,糖水會變甜,你能用所學數學知識解釋這一現象嗎?試根據你的解釋寫一篇數學小論文《糖水為什么會變甜?》.

經過這樣的處理,一個不等式在學生的腦海中馬上與生活聯系起來,既可以激發學生的學習興趣,又可以讓學生充分感受數學源于現實、服務于現實的道理,同時還可以培養學生的數學建模能力.

前蘇聯數學家奧加涅相說過:“必須重視很多習題潛在著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性.”在數學教學中應提倡教師將教材中的例、習題進行探究、延伸或拓展,當然探究應結合教材的內容和學生的實際,并在教師的啟發和指導下由學生討論完成. (此文發表于《數學通訊》2015.5

參考文獻:

[1] 楊金忠.分形幾何在高中思想中的滲透距離[J].中學數學月刊,20147).

[2] 石志群.用好教材 回歸本真 實現數學的教育價值[J].數學通報,20146).

[3] 陳二光.一道課本例題的多解、變式與引申[J].中學數學月刊,201212).

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